[1a]
Das weltweit erste in Serie produzierte Fischaugenobjektiv wurde 1962 von Nikon vorgestellt (Fisheye-Nikkor 1:8, f = 8 mm).[2]
Das Objektiv ragte weit in das Kameragehäuse hinein, so dass der Spiegel hochgeklappt und arretiert, und ein externer Sucher am Blitzsteckschuh befestigt werden musste.
Mittlerweile gibt es eine Vielzahl an Herstellern, die Fischaugenobjektive produzieren. Für einäugige Spiegelreflexkameras sind sie meist als Retrofokusobjektive ausgeführt, damit der Spiegel zwischen Verschluss und Hinterlinse genug Platz hat.
Moderne spiegellose Kamerasysteme mit erheblich kürzeren Auflagemaßen ermöglichen durch den geringen Abstand von Optik und Sensor den Verzicht auf Retrofokuskonstruktionen. Das verringert den Aufwand oder ermöglicht bei gleichem Aufwand größere Bildwinkel. Miniaturfischaugenobjektive für sehr kleine Sensoren, wie sie in Überwachungskameras oder Action-Camcorder eingesetzt werden, sind noch preiswerter, so dass noch größere Bildwinkel bis 280°[3] angeboten werden, und nicht mehr kosten, als ein 180°-Retrofokus-Fischaugenobjektiv für das Kleinbildformat. Inzwischen gibt es auch vergrößerte Varianten eines Miniaturfischauges mit 250° Bildwinkel für den MFT-Anschluss.[4]
| Einfalls- winkel θ [°] |
Bildradius r [mm] | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
|
Entaniya Fisheye 200 HAL 3.6 3,6mm F/4 |
Entaniya Fisheye 200 HAL 5.0 5,0mm F/5.6 |
Entaniya Fisheye 250 HAL 2.3 2,3mm F/2,8 |
Entaniya Fisheye 250 HAL 3.0 3,0mm F/2,8 |
Entaniya Fisheye 250 HAL 3.6 3,6mm F/4 |
Entaniya Fisheye 250 HAL 4.3 4,3mm F/2.8 |
|
| 5 | 0,3183 | 0,43927 | 0,202 | 0,2648 | 0,3158 | 0,3772 |
| 10 | 0,6365 | 0,878353 | 0,4039 | 0,5295 | 0,6315 | 0,7542 |
| 15 | 0,9544 | 1,317063 | 0,6055 | 0,7939 | 0,9469 | 1,1309 |
| 20 | 1,2719 | 1,755214 | 0,8068 | 1,0579 | 1,2619 | 1,5069 |
| 25 | 1,5888 | 2,192615 | 1,0075 | 1,3214 | 1,5762 | 1,8822 |
| 30 | 1,9050 | 2,62907 | 1,2076 | 1,5841 | 1,8898 | 2,2565 |
| 35 | 2,2204 | 3,064364 | 1,407 | 1,8461 | 2,2025 | 2,6297 |
| 40 | 2,5346 | 3,498256 | 1,6055 | 2,107 | 2,5141 | 3,0015 |
| 45 | 2,8476 | 3,930451 | 1,803 | 2,3669 | 2,8245 | 3,3717 |
| 50 | 3,1591 | 4,360575 | 1,9993 | 2,6255 | 3,1335 | 3,7402 |
| 55 | 3,4687 | 4,788134 | 2,1944 | 2,8826 | 3,4409 | 4,1066 |
| 60 | 3,7758 | 5,212458 | 2,3879 | 3,138 | 3,7463 | 4,4706 |
| 65 | 4,0799 | 5,632637 | 2,5798 | 3,3914 | 4,0495 | 4,8318 |
| 70 | 4,3800 | 6,047442 | 2,7696 | 3,6425 | 4,35 | 5,1897 |
| 75 | 4,6748 | 6,455248 | 2,9571 | 3,8908 | 4,6473 | 5,5435 |
| 80 | 4,9630 | 6,853979 | 3,1417 | 4,1356 | 4,9405 | 5,8924 |
| 85 | 5,2425 | 7,24113 | 3,3228 | 4,3761 | 5,2288 | 6,2353 |
| 89,8 89,8 |
5,5009 |
7,599381 |
3,4926 |
4,6019 |
5,4996 |
6,5572 |
| 95 | 5,7682 | 7,970221 | 3,671 | 4,8396 | 5,7847 | 6,8961 |
| 100 | 6,0134 | 8,309741 | 3,8357 | 5,0596 | 6,0488 | 7,2098 |
| 105 | 3,9923 | 5,2692 | 6,3006 | 7,5088 | ||
| 110 | 4,1391 | 5,4662 | 6,5372 | 7,7897 | ||
| 115 | 4,2744 | 5,6481 | 6,7559 | 8,0492 | ||
| 120 | 4,3967 | 5,8126 | 6,9535 | 8,2836 | ||
| 125 | 4,5053 | 5,9578 | 7,1271 | 8,4894 | ||
|
grün:
von Entaniya berichtigt (festgestellt am 20. Februar 2018)
vorher: 89,8° war auf 90° gerundet und 7,2098 mm war auf 7,0298 mm vertippt |
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Entaniya Fisheye 250° MFT 3,6mm f/4 rückseitiger Überstand Ø25mm x 0,7mm
Entaniya Fisheye 250° MFT ,0mm f/2,8 rückseitiger Ansatz Ø23mm x 2,8mm
Entaniya Fisheye 250° MFT 2,3mm f/2,8 rückseitiger Ansatz Ø25mm x 5,3mm
Das Entaniya Fisheye 250 MFT 3.6 eignet sich für alle MFT-Kameras. Um das Entaniya Fisheye 250 MFT 2.3 und das Entaniya Fisheye 250 MFT 3.0 in der Größe klein zu halten, hat die Rückseite einen Ansatz. Das macht es unmöglich, diese Objektive an Kameras, wie OLYMPUS OM-D E-M5(Mark1), OLYMPUS PEN E-PL6/E-PL5 und OLYMPUS PEN E-PM1/E-PM2 anzubringen, weil der Bildsensor das Einsetzen blockiert. Alle drei Objektive können an der Blackmagic Micro Studio Camera 4K angebracht werden, die einen kleineren Sensor (13,056 x 7,344 mm) hat.
Das Objektiv hat keine Einstellmöglichkeiten für Entfernung (Fixfokus) und Blende (Festblende) und kein Interface zur Kamera. Es kann nur für spiegellose Kameras verwendet werden. Unter Umständen muss sogar der interne Filter vor dem Sensor ausgebaut werden, um die erforderliche Tiefe für das Einsetzen des Objektivs zu bekommen.
Für Kunden, die gerne mehrere Brennweiten-Ausführungen haben möchten, gibt es ein "Rear group kit" (Rückgruppen-Bausatz). Damit lässt sich das Objektiv für jede der drei Brennweiten umbauen. Das ist wesendlich günstiger, als mehrere Objektive zu erwerben. Der Bausatz enthält auch Aperturblenden-Scheiben, um das Objektiv für eine kleinere Blendenöffnung umzubauen.
Im Laufe eines Jahres hat Entaniya das System weiter ausgebaut.
Das Objektiv besteht jetzt aus einer Frontgruppe,
einer Rückgruppe mit wechselbaren Apertur-Blendenscheiben,
Graufiltern und einem Fokus-Feststellring,
sowie einem Kamera-Adapter.
Für das 250° Fischauge ist eine 4,3-mm-Rückgruppe hinzugekommen.
Sie ist die kostenintensivste.
Es gibt jetzt nicht nur MFT-, sondern auch C-, E-, EF- und RED-Kamera-Adapter in Abhängigkeit von der konkreten Rückgruppe.
Deshalb wurde die Bezeichnung von "Entaniya Fisheye 250 MFT {Brennweite}" in "Entaniya Fisheye HAL {Bildwinkel} {Brennweite} {Adapter}" geändert.
HAL bedeutet High Angle Lens. Diese Bezeichnung wurde auch in Anlehnung an den Film 2001: A Space Odyssey (deutscher Titel "2001: Odyssee im Weltraum") gewählt. Das Entaniya Fisheye sieht so ähnlich aus, wie das Auge des Supercomputers HAL 9000 auf dem Raumschiff Discovery One.
Neu sind die 200° Fischaugen "Entaniya Fisheye HAL 200 3.6 C(?)/E/MFT" und "Entaniya Fisheye HAL 200 5.0 E/EF". Sie sind kostengünstiger, als die 250° Fischaugen.
Entaniya hat Werte der Abbildungsfunktionen dieser Objektive veröffentlicht (siehe Tabelle 1). Das ermöglicht es, passende Abbildungsfunktionen zu ermitteln.
![Das ist ein QB64-Logo.
Beschaffung von QB64:
siehe Einzelnachweise [5][6].](../bilder/qb64icon32.png "Das ist ein QB64-Logo.
Beschaffung von QB64:
siehe Einzelnachweise [5][6].")
Dafür wurde das Berechnungsprogramm FEPOLYN
in der QBASIC-Sprache geschrieben und wechselseitig als FEPOLYN.BAS mit QBASIC unter MS-DOS 6.22
und mit QB64[5][6] (kompiliert als "FEPOLYN.EXE") unter Windows 10 (64 Bit) editiert und getestet.
Das Programm wurde parallel mit dem Schreiben dieser Seite weiterentwickelt.
Inhaltsverzeichnis |
= 1 (links vom Pfeil), das in ein gewöhnliches Polynom (rechts vom Pfeil) umgewandelt wird.
Dabei müssen auch die in GRAD (DEG) vorliegenden Winkelwerte θ in Bogenmaß (RAD) umgewandelt werden.
berechnet werden.
A0 wird dann zur Brennweite f, mit der die normierten Koeffizienten aus den errechneten Koeffizienten bestimmt werden können.
Mit 
wird das Polynom gerade,
so dass die Substitution 
möglich ist.
Mit der Verwendung von y darf θ oder x nicht Null sein.
Der Polynomgrad ist die höchste Potenz aller Polynomglieder.
Das Ausgangspolynom hat bei n Gliedern den Grad 2n - 1,
nach der Substitution den Grad 2n - 2
und nach der Substitution den Grad n - 1.
Die Anzahl der Polynomglieder bleibt aber gleich, so dass es sinnvoller ist,
nur von der Gliedzahl statt vom Polynomgrad zu reden.
Die Berechnung erfolgte zuerst für das Entaniya Fisheye 250 MFT 3.6 (jetzt Entaniya Fisheye HAL 250 3.6 C/E/MFT/RED), weil es sich für alle MFT-Kameras eignetete. Aus 25 Tabellenwerten (erste und letzte Spalte von Tabelle 1) werden über eine Matrix 25 Koeffizienten berechnet. Das erledigt das Programm FEPOLYN.EXE. Die Bogenmaß-Umrechnung ist inbegriffen.
üblicherweise kleiner als 1 und werden mit steigender Potenz noch kleiner.
FEPOLYN.EXE, Screenshots
1
2
3
4
5
6
7
<- da umschalten
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Der höchste Einfallswinkel ist laut Tabelle 125°. Das sind im Bogenmaß 2,1817... RAD. Bei der Berechnung des Polynoms ist die höchste Potenz 49. Dann ist θ49 ≈ 39 864 071 154 244 596,7178 (etwa 39 Billiarden). Die Gleitkommazahlen von Typ DOUBLE können von dieser Zahl noch nicht einmal alle Vorkommastellen auflösen. Damit ist erklärbar, dass die Kurve die Tabellenwerte nicht bis zu 125° genau treffen kann.
[1b] Punkt: Polynom
Mit steigender Punktzahl wird das Polynom immer welliger.
In der Praxis werden Polynome mit mehr als 5 Gliedern kaum noch eingesetzt.[7]
Es besteht die Gefahr einer entarteten Lösung mit riesigen Wellenbergen und -tälern zwischen den genau gebildeten Tabellenwerten.
Alle Punkte auf einmal verwendet man am besten, wenn nur wenige (3...8) Punkte vorliegen, z. B. beim Auswerten von Fotos einer Testanordnung mit bekannten Winkeln zwischen Objektdetails. Wenn möglich, wählt man die Winkel an der Testanordnung nach den Regeln für ein optimiertes Polynom (siehe folgende Abschnitte).
Die Abbildungsfunktion ist zwar zentralsymmetrisch; aber man benutzt üblicherweise nur den positiven Ast. Da könnte man auf die Zentralsymmertrie verzichten, indem man auch die gerade Koeffizienten hinzuzieht.
mit 
und 
FEPOLYN.EXE, Screenshots
8
9
|
Die hier eingeführte Aktivierung eines Nullwertes ist auch für weitere Polynom-Ermittlungs-Methoden als Option möglich. Hier ist sie von Vorteil - bei weiteren Methoden eher nicht.
Eine eigentlich ungerade Funktion durch ein Polynom mit ungeraden und geraden Gliedern zu ersetzen ist eine unsaubere Arbeitsweise (DIRTY-Modus im Programm) und sollte deshalb nicht auf weitere Verbesserungsmöglichkeiten untersucht werden.
In den Panoramatools von Helmut Dersch gibt es einen Correct-Baustein, der ein Polynom mit leider auch geraden Gliedern verwendet. Panoramatools haben einen Standard geschaffen, so dass viele Panorama-Anwendungen, wie z. B. PTGui, die Correct-Parameter kritiklos übernehmen. Somit werden wir die unsaubere Arbeitsweise später noch einmal aufgreifen.
In der für das Polynom aufbereiteten x-y-Darstellung stehen die Punkt-x-Werte links ganz dicht beieinander und rechts ziemlich auseinander. Es sollen Punkte ausgesucht werden, die untereinander einen gleichen x-Abstand haben. Da sich am rechten Rand die größten y-Änderungen ergeben, sollen die letzten 2 Punkte unbedingt verwendet werden. Der Abstand dieser Punkte ist der größte und soll Maßstab für die Auswahl der restlichen Punkte sein.
aus den θ-Werten der Tabelle 1 berechnet wurden.
Der Abstand zwischen den letzten zwei x-Werten passt 12,7551 mal in den Abstand zwischen x = 0 (wo es keinen Tabellenwert dazu gibt) und dem letzten x-Wert.
Gerundet sind das 13 Intervalle, die mit weißen Strichen gekennzeichnet sind.
Der erste Intervallstrich (der nullte bei x = 0 ist tabu) ist rot und bestimmt den ersten zu nehmenden x-Wert,
der von allen x-Werten der siebente ist.
Screenshots
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Tabelle 2 enthält die zur Beurteilung wichtigsten Größen. Die Stellenzahl der Abweichung wurde so hoch gewählt, dass keine Werte mit Null auftreten. Die Ampelfarben kennzeichnen die Rate der verwendeten Tabellenwerte (siehe auch Screenshot 11).
| Glied- zahl |
Abweichung in mm | größtes Polynomglied nach a3 |
||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Durch- schnitt |
effektiv | Kleinstwert | Größtwert | Bereichs- mitte |
||
| 2 | -0,02574 | 0,04917 | -0,09895 | 0,01732 | -0,04082 | nicht vorhanden |
| 3 | -0,00081 | 0,00589 | -0,01154 | 0,00843 | -0,00155 | a5 = -0,003936 |
| 4 | 0,00007 | 0,00076 | -0,00063 | 0,00240 | 0,00089 | a7 = -0,00053 |
| 5 | 0,00006 | 0,00026 | -0,00034 | 0,00069 | 0,00017 | a5 = 0,002105 |
| 6 | -0,00001 | 0,00004 | -0,00011 | 0,00005 | -0,00003 | a5 = -0,000253 |
| 7 | -0,00000 | 0,00003 | -0,00008 | 0,00007 | -0,00000 | a5 = -0,000287 |
| 8 | -0,00001 | 0,00005 | -0,00019 | 0,00010 | -0,00004 | a5 = -0,001084 |
| 9 | -0,00003 | 0,00006 | -0,00017 | 0,00004 | -0,00006 | a5 = -0,000465 |
| 10 | 0,00010 | 0,00025 | -0,00025 | 0,00070 | 0,00023 | a7 = -0,027622 |
| 11 | -0,00003 | 0,00010 | -0,00029 | 0,00006 | -0,00011 | a9 = -0,034991 |
| 12 | -0,00015 | 0,00036 | -0,00104 | 0,00010 | -0,00047 | a9 = -0,123218 |
| 13 | -0,00002 | 0,00021 | -0,00052 | 0,00043 | -0,00005 | a9 = 0,403078 |
| 14 | 0,00089 | 0,00209 | -0,00024 | 0,00060 | 0,00289 | a9 = 1,510266 |
| 15 | 0,00019 | 0,00044 | -0,00018 | 0,00126 | 0,00054 | a11= 1,709172 |
ist immer eins und
wird von der Abbildungsfunktion bestimmt und kann Werte von -1/6 ... +1/3 annehmen.
Erst ab 
geben die Polynomglieder Aufschluss über die Qualität des Polynoms.
Screenshots 13 - 26: Gliedzahl
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5
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12
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sollte von den -Nachfolgern den größten Betrag haben.
Sollten weitere Polynomglieder mit steigender Potenz im Betrag größer werden,
bahnt sich eine unerwünschte Welligkeit an.
Überschreiten sie deutlich die Beträge von ,
sollte man sich für dieses Polynom lieber nicht entscheiden.
Schaut man sich die größten Polynomglieder an,
ist ein Anstieg ab Gliedzahl 10 zu bemerken, wo auch |a7| > |a5| ist.
Bei Gliedzahl 4 gilt das zwar auch, aber |a7| ist hier nicht groß.
Es ist zufällig |a5| sehr klein, sonst stände a7 nicht da.
Und somit sprechen die Koeffizienten nicht gegen die Gliedzahl 4.
Ein Bildsensor ist in Pixel eingeteilt und die Abbildungsfunktion muss nur so genau sein, dass das richtige Pixel ausgewählt werden kann. Daher ist nicht der relative Fehler, sondern die absolute Abweichung entscheidend. Sie wird in den Diagrammen der Screenshots 13...26 gezeigt. Bei der Gliedzahl 4 würde bei einer 8K-Auflösung die Abweichung im oberen Bereich etwa 1 1/2 Pixel betragen. Das spricht bei höchsten Genauigkeitsansprüchen gegen die Gliedzahl 4. Es wären Gliedzahlen von 5 bis 11 möglich, wobei 8, 10 und 11 vom Aufwand nicht zu empfehlen sind, und 5 schon ausreichend wäre.
Die effektiven Abweichungen sind bei den Gliedzahlen 6 bis 9 am niedrigsten. Da höhere Gliedzahlen mehr Welligkeit produzieren, und den Rundungssprüngen unnötigerweise genauer folgen, sowie mehr Rechenaufwand verursachen, sollte man davon die niedrigste Gliedzahl wählen. Bei den effektiven Abweichungen gibt es Ausreisser, und bei den Polynomkurven vom Screenshot 12 fällt auf, dass sie oberhalb 125° mal nach oben und mal mach unten umschlagen. Das liegt vermutlich an der Methode, wie die Auswahlsätze gebildet werden. Je nach Gliedzahl werden die einzelnen Punkte unterschiedlich oft verrechnet und unterschiedliche Punkte ausgelassen. Zukünftig könnte man die Auswahlmethoden verbessern. Es fällt aber angesichts der Ampelfarben auf, dass die besten Ergebnisse bei niedrigen Gliedzahlen erzielt werden, obwohl nicht alle Punkte für das Polynom verwendet wurden und die Abweichungsberechnung trotzdem über alle Punkte lief.
Eine weitere Variation ist die Aktivierung eines Nullwertes. Der Nullwert ist der Wert der Interpolationskurve bei θ = 0, sozusagen der nullte Punkt. r(θ=0) ist zwar Null, aber y(x=0) ist vom Wert her die Brennweite, bzw. A0 eines um ein Glied erhöhten Polynoms. Von der allgemeinen Welligkeit her ist das mit dem Nullwert erweiterte Polynom etwas schlechter, als das nächsthöhere Polynom ohne Nullwert. Die Nullwertaktivierung ist im Normalfall nicht zu empfehlen, aber eine Option für spezielle Untersuchungen.
Screenshots
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Die eben angeführten Polynome beschreiben das Entaniya Fisheye HAL 250 3.6 C/E/MFT/RED mit ausreichender (außer dem blauen Polynom) Genauigkeit. Für die Richtigkeit übernehme ich jedoch keine Gewähr. Die oben angeführten Polynome wurden erstellt, ehe der Tschebyschow-Modus programmiert wurde. Es wird empfohlen, die Polynome aus dem entsprechenden Abschnitt weiter unten zu übernehmen.
Die Methode "Mehrere Auswahlsätze" ist inzwischen überholt. Die Methode war solange sinnvoll, wie noch keine Interpolationskurve programmiert war, die wiederum eine Voraussetzung für den Tschebyschow-Modus ist.
Genaue Punktwerte kann man theoretisch mit einem Polynom über alle Punkte erreichen, sofern das Polynom noch stabil ist. Weil die Polynomkurve mehr oder weniger oszilliert, sind keine genauen Zwischenwerte möglich. Genauer ist eine Splineinterpolation.[8] Eine Spline besteht aus Polynomstücken zwischen den Punkten, an denen Sie versatz-, knick- und ruckfrei zusammenstoßen. Da Abbildungsfunktionen ungerade sind, wäre es eine unsaubere Arbeitsweise, die aus Polynomstücken bestehende Spline direkt über die Punkte zu legen. Deshalb wird die Spline in der x-y-Ebene gebildet. Eine Spline wird üblicherweise mit einem Gleichungssystem mit 4(n-1) Unbekannten berechnet.
Aus der Überblendung von Parabelstücken kann auch eine Interpolationskurve gewonnen werden, die einer Spline sehr ähnlich, aber wesendlich einfacher (n-2 Parabelgleichungen mit je 3 Unbekannten und n-3 einfache Überblendgleichungen) zu berechnen ist. Die Interpolationskurve ist nicht unbedingt ruckfrei, und die Steigungen an den Punkten werden nur von den beiden Nachbarpunkten statt von allen restlichen Punkten beeinflusst. Abbildungsfunktion von optischen Systemen haben keine wilden Richtungsänderungen, so dass auch keine merklichen Unterschiede zu einer echten Spline zu erwarten sind.
Die θ-r-Punkte werden in x-y-Punkte transformiert. Es gelten die schon anfangs verwendeten Substitutionen y = r / θ und x = θ2. Ein Parabelstück erstreckt sich über die drei Punkte p[i-1], p[i] und p[i+1]. Dessen Polynomkoeffizienten werden dem mittleren Punkt zugeordnet: y = b0[i] + b1[i] x + b2[i] x2 (entspricht r = b0[i] θ + b1[i] θ3 + b2[i] θ5)
Im Bereich i = 2...n-1 überlappen sich immer zwei Parabelstücke. Der mittlere Punkt der niedrigeren Parabel ist p[i] und der der höheren Parabel p[i+1]. Punkte dazwischen sind eine Überblendung von der niedrigeren zur höheren Parabel. Es dominiert die Parabel, deren mittlerer Punkt dem Zwischenpunkt näher ist: y = y[i] * (x[i+1] - x) / (x[i+1] - x[i]) + y[i+1] * (x - x[i]) / (x[i+1] - x[i]) Die weiche Überblendung garantiert, dass die Steigungen an den mittleren Punkten der Parabelstücke erhalten bleiben und die Änderung der Steigung stetig erfolgt.
Beispiel: 7-Punkte-Interpolationskurve im x-y-Diagramm
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Die Überblendung zweier Parabeln kann zu einem neuen Polynomstück zwischen den Punkten p[i] und p[i+1] verrechnet werden. Damit wird auch der Grad eines Spline-Polynomstücks erreicht. Die Koeffizienten werden beispielsweise dem unteren Punkt zugeordnet: y = b0[i] + b1[i] x + b2[i] x2 + b3[i] x3 (entspricht r = b0[i] θ + b1[i] θ3 + b2[i] θ5 + b3[i] θ7) FEPOLYN kann diese Koeffizienten anzeigen (k=Koeffizienten ⇒ i=Interpolationskurve. Achtung: Die Koeffizienten sind sehr klein, weil mit Winkeln in Grad [DEG] statt in Radiant [RAD] gerechnet wird.). Die x-y-Kurve basiert auf zwei Parabelstücken von Null bis p[2] und von p[n-1] bis über p[n] hinaus, und kubischen Polynomstücken dazwischen. Mit der Umrechnung zurück in die θ-r-Ebene entsteht die Interpolationskurve der Abbildungsfunktion (blau in Screenshot 5 und weiteren Screenshots).
Vorteile: 1: Die Interpolationskurve trifft die Vorgabepunkte sehr genau,
ist sehr glatt und bildet die Grundkurve,
um die die Polynome oszillieren.
Sie wird deshalb als Bezugslinie für Fehler, Abweichungen und weitere interne Berechnungen verwendet.
2. Die Interpolationskurve wird nach dem letzten Punkt mit der letzten Krümmung fortgeführt.
Es gibt kein scharfes Wegbiegen, wie bei hochgradigen Polynomen.
Nachteile: 1. Die Interpolationskurve nimmt alle Schwankungen durch gerundete oder fehlerbehaftete Punktwerte in sich auf.
2. Die Fortführung der Interpolationskurve nach dem letzten Punkt scheint vom Anblick her plausibel.
Mit Sicherheit wird sich dort die Krümmung ändern.
Somit sind die Diagrammkurven in diesem Bereich nicht aussagefähig.
3. Für die Beschreibung der Kurve sind (5n - 8) Werte
(für das Entaniya Fisheye HAL 250 3.6 C/E/MFT/RED sind es 117 Werte) erforderlich.
Das ist ein unverhältnismäßiger Aufwand für die Weitergabe der Interpolationskurvendaten.
Statt der Weitergabe der Interpolationskurven ([4n - 6] Werte für [n - 1] Polynome plus [n - 2] Werte für die Stoßstellen zwischen den Polynomstücken und gegebenenfalls nochmal [n - 2] Werte für die Stoßstellen der inversen Interpolationskurve) empfielt sich die Weitergabe der 2n Quellpunktwerte (2 Zahlen pro Punkt), aus denen das Zielprogramm die Interpolationskurve rekonstruiert oder eine zur Interpolationskurve fast gleiche Spline erzeugt.
Nachfolgend werden die Interpolationskurven aller HAL-Objektivvarianten gezeigt. Die senkrechten Linien kennzeichnen die Einfallswinkel der Tabelle 1 (5°-Raster). Die weiße Linie kennzeichnet den einzigen abweichenden Einfallswinkel von 89,8° (anstatt 90°).
Screenshot-Montagen
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Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow[9] (*1821, †1894, frühere Transkription: Tschebyscheff) war ein russischer Mathematiker. Tschebyschow-Polynome erster Art[10] zeichnen sich durch einen sehr günstigen, gleichmäßigen Fehlerverlauf aus. Fehler bedeutet hier Welligkeit. Alle Wellen haben die gleiche Amplitude. Damit ist die größte Welle möglichst klein, nämlich wie die anderen Wellen. Die Nullstellen liegen an den Bereichsgrenzen sehr eng zusammen und in der Mitte weiter auseinander, so dass die flachen Wellen in der Mitte und die steilen Wellen am Rand gleich hoch sind.
Die im vorherigen Abschnitt beschriebene Interpolationskurve ermöglicht unabhängig von den Punkten beliebige Stützstellen. Die Stützstellen für die Polynomermittlung sollen entsprechend der Nullstellenverteilung der Tschebyschow-Polynome vorgegeben werden.
Das 25-gliedrige Polynom wurde hier ausführlich beschrieben, weil es die möglichen Extreme zeigt. Es sollte aber nie verwendet werden.
Screenshots
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Die eben angeführten Polynome beschreiben das Entaniya Fisheye HAL 250 3.6 C/E/MFT/RED mit ausreichender (außer dem brauen Polynom) Genauigkeit. Für die Richtigkeit übernehme ich jedoch keine Gewähr.
Tschebyschow-Polynome dienen der fehleroptimalen Nachbildung eines geraden Kurvenstücks. Da Abbildungsfunktionen gebogen sind, liefern die Stützstellen, die auf den Nullstellen der Tschebyschow-Polynome liegen, kein perfekt fehleroptimales Polynom. Eine Verbesserung ist durch die "Tschebyschow-Potenz" (Skalierungspotenz im Tschebyschow-Modus) genannte Potenz p möglich, die die Skalierung zwischen Winkeln und Tschebyschow-Punkte einstellt. Bei Polynomen mit wenig Gliedern ist auch das nicht perfekt. Dann sollte man die Stützstellen manuell justieren.
Mit der Erarbeitung des nächsten Abschnitts Tschebyschow modifiziert musste zwischen normal und modifiziert umgeschaltet werden. Als Schalter wurde das Vorzeichen der Tschebyschow-Potenz gewählt. Für das neuere modifiziert-Verfahren sollte es positiv sein. Die Verarbeitung der Tschebyschow-Potenz wurde nach der FEPOLYN-Version 2017-02-15 umgestellt. Um die gleichen Ergebnisse für die Beispiele in diesem Abschnitt zu erzielen, sind die p-Werte negiert, also als negative Zahl für die "Tschebyschow-Potenz" einzugeben.
Eine weitere Variation ist die Aktivierung eines Nullwertes. Der Nullwert ist der Wert der Interpolationskurve bei θ = 0, sozusagen der nullte Punkt. r(θ=0) ist zwar Null, aber y(x=0) ist vom Wert her die Brennweite, bzw. A0 eines um ein Glied erhöhten Polynoms. Die Tschebyschow-Punkte werden etwas anders verteilt.
Screenshots
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Screenshots
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Die eben angeführten Polynome beschreiben das Entaniya Fisheye HAL 250 3.6 C/E/MFT/RED mit geringer bis zu höchster Genauigkeit. Für die Richtigkeit übernehme ich jedoch keine Gewähr.
Ist Anfang 2018 neu angekündigt und noch nicht im Web-Shop. Die Daten dieses Objektivs müssen noch ausgewertet werden.
Ist Anfang 2018 neu angekündigt und noch nicht im Web-Shop. Die Daten dieses Objektivs müssen noch ausgewertet werden.
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Die eben angeführten Polynome beschreiben das Entaniya Fisheye HAL 250 2.3 E/MFT mit geringer bis zu höchster Genauigkeit. Für die Richtigkeit übernehme ich jedoch keine Gewähr.
Auch hier sollen modifizierte Tschebyschow-Polynome abgeleitet, optimiert mit und reduzierter Stellenzahl erstellt werden.
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Die eben angeführten Polynome beschreiben das Entaniya Fisheye HAL 250 3.0 C/E/MFT mit geringer bis zu höchster Genauigkeit. Für die Richtigkeit übernehme ich jedoch keine Gewähr.
Ist Anfang 2018 neu angekündigt und noch nicht im Web-Shop. Die Daten dieses Objektivs müssen noch ausgewertet werden.
Die in den letzen Abschnitten aufgeführten Polynome sind hier noch einmal übersichtlich aufgeführt. In den letzten Abschnitten bezog sich die Abweichung auf fiktive Bildpixel [Bildkreis seitlich in 8K-Format eingefügt, wobei rmax(θ = 100°|125°) 3840 Bildpixel entspricht]. In folgenden Tabellen ist die Abweichung konkreter aufgeführt: absolut als mm-Abweichung von der Interpolationskurve und prozentual bezogen auf den größten Bildradius bei θ = 100°|125° (je nach Objektiv).
Später hinzugefügte Tabellen können eine Spalte 'Tschebyschowpotenz p' enthalten. Ab der FEPOLYN-Version 2018-04-04 kann aus der Stützstellenoptimierung die äquivalente Potenz ermittelt werden. Damit kann man eine höhere Treffsicherheit für die angenommenen Extremstellen erwarten. Die angenommenen Extremstellen werden ab dieser FEPOLYN-Version im Menü "Wert" angezeigt.
| Glied- zahl |
Brenn- weite |
Polynom | Abweichung | Tschebyschow- potenz |
|||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f [mm] | a1 | a3 | a5 | a7 | a9 | a11 | Δr [mm] |
|
p | ||||
| 2 | 3,694 | 1 | -0,02116 | 0,0183 | 0,305 | 2,293 | |||||||
| 3 | 3,6397 | 1 | -0,00284 | -0,00479 | 0,002 | 0,0326 | 1,804 | ||||||
| 4 | 3,6434 | 1 | -0,00575 | -0,0027 | -0,0004221 | 0,00103 | 0,0224 | 2,519 | |||||
| 5 | 3,65 | 1 | -0,01285 | 0,0051 | -0,003651 | 0,000452 | 0,00034 | 0,0056 | 2,405 | ||||
| 3,6501 | 1 | -0,1301 | 0,00534 | -0,003777 | 0,0004735 | ← 100° genau | 0,000365 | 0,0061 | 2,235 | ||||
| 6 | 3,6476 | 1 | -0,00872 | -0,00232 | 0,001844 | -0,0013425 | 0,00021412 | 0,00017 | 0,0028 | ||||
| Glied- zahl |
Brenn- weite |
Polynom | Abweichung | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f [mm] | a1 | a3 | a5 | a7 | a9 | a11 | Δr [mm] |
|
||||
| 2 | 1 | |||||||||||
| 3 | 1 | |||||||||||
| 4 | 1 | |||||||||||
| 5 | 1 | |||||||||||
| 1 | ← 100° genau | |||||||||||
| 6 | 1 | |||||||||||
| Glied- zahl |
Brenn- weite |
Polynom | Abweichung | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f [mm] | a1 | a3 | a5 | a7 | a9 | a11 | Δr [mm] |
|
||||
| 2 | 2,3687 | 1 | -0,0258 | 0,0278 | 0,62 | |||||||
| 3 | 2,3018 | 1 | -0,00367 | -0,003734 | 0,004 | 0,089 | ||||||
| 4 | 2,3117 | 1 | -0,01119 | -0,000425 | -0,000408 | 0,001 | 0,0223 | |||||
| 5 | 2,3168 | 1 | -0,01655 | 0,003335 | -0,001404 | 0,00008942 | 0,00037 | 0,0081 | ||||
| 2,317 | 1 | -0,01679 | 0,003533 | -0,001465 | 0,0000957 | ← 125° genau | 0,00041 | 0,0091 | ||||
| 6 | 2,3148 | 1 | -0,0132 | -0,000489 | 0,000396 | -0,0002839 | 0,000028263 | 0,00009 | 0,002 | |||
| Glied- zahl |
Brenn- weite |
Polynom | Abweichung | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f [mm] | a1 | a3 | a5 | a7 | a9 | a11 | Δr [mm] |
|
||||
| 2 | 3,1091 | 1 | -0,02438 | 0,0382 | 0,64 | |||||||
| 3 | 3,0167 | 1 | -0,00102 | -0,003931 | 0,0056 | 0,094 | ||||||
| 4 | 3,0317 | 1 | -0,00966 | -0,000165 | -0,0004606 | 0,001 | 0,0171 | |||||
| 5 | 3,0365 | 1 | -0,01351 | 0,002538 | -0,001178 | 0,00006453 | 0,00035 | 0,0059 | ||||
| 3,0367 | 1 | -0,0137 | 0,002698 | -0,001228 | 0,00006972 | ← 125° genau | 0,00039 | 0,0065 | ||||
| 6 | 3,0347 | 1 | -0,01109 | -0,000287 | 0,000171 | -0,0002181 | 0,00002156 | 0,00007 | 0,0012 | |||
| Glied- zahl |
Brenn- weite |
Polynom | Abweichung | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f [mm] | a1 | a3 | a5 | a7 | a9 | a11 | Δr [mm] |
|
||||
| 2 | 3,7107 | 1 | -0,02392 | 0,0468 | 0,66 | |||||||
| 3 | 3,5972 | 1 | 0,00017 | -0,004051 | 0,0069 | 0,097 | ||||||
| 4 | 3,6164 | 1 | -0,00902 | -0,000068 | -0,0004852 | 0,001 | 0,0138 | |||||
| 5 | 3,6213 | 1 | -0,0123 | 0,002225 | -0,001092 | 0,00005447 | 0,00038 | 0,0053 | ||||
| 3,6215 | 1 | -0,01245 | 0,00235 | -0,001131 | 0,00005852 | ← 125° genau | 0,00041 | 0,0058 | ||||
| 6 | 3,6194 | 1 | -0,01014 | -0,000299 | 0,000115 | -0,000199 | 0,00001939 | 0,00009 | 0,0013 | |||
| Glied- zahl |
Brenn- weite |
Polynom | Abweichung | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f [mm] | a1 | a3 | a5 | a7 | a9 | a11 | Δr [mm] |
|
||||
| 2 | 1 | |||||||||||
| 3 | 1 | |||||||||||
| 4 | 1 | |||||||||||
| 5 | 1 | |||||||||||
| 1 | ← 125° genau | |||||||||||
| 6 | 1 | |||||||||||
Für die Richtigkeit der übernommenen Werte übernehme ich keine Gewähr (letzte Änderung: 2017-05-21).
z. Z. noch leer...
ohne Korrektur
(fisheye.xml)
mit Korrektur
(fisheyeCorr.xml)
Crop mit Korrektur
(fisheyeCorrCrop.xml)
Hier werden Funktionen, die kein Polynom sind, verglichen. Das erfolgt zuerst nur für das Entaniya Fisheye HAL 250 3.6 C/E/MFT/RED.
f = 3,6188 mm
f = 3,6199 mm
f = 3,6193 mm, L = - 0,3345 (negativ: Sinus-Variante)
f = 3,6184 mm, Z = - 1,7454 (mit diesem Z nur bis 124,955° eineindeutig)
Screenshots
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Die Abweichungen der einzelnen Funktionen sind erheblich größer, als selbst beim einfachsten Polynom.
Die fundamentalen Funktionen haben eigentlich keinen Steuerparameter.
Die Anpassung erfolgt durch Auswahl der geeignetsten Funktion.
Die Brennweite ist durch den Anstieg der Abbildungsfunktion in der Bildmitte (θ → 0) bestimmt.
Eine skalierte Funktion, besteht aus der gleichen (fundamentalen) Funktion,
hat aber eine frei wählbare Brennweite fadapted.
Die Funktion kann so skaliert werden,
dass sie die Abbildungsfunktion (bzw. Interpolationskurve) kreuzt,
und die maximalen Abweichungen beiderseits der Kurve möglichst gleich,
und damit minimal werden.
Die erzielbaren Ergebnisse sind im Abschnitt Screenshot-Montage 54 eingetragen.
Dort steigert sich die Genauigkeit auf das Drei bis Vierfache.
Wird weitergeschrieben...
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